Joukko yhtä suuri kuin osajoukkonsa?

Joukko on (toden totta) osajoukkoaan suurempi

 "Nykyisessä joukko-opissa on osoitettu virheelliseksi väite 'kokonaisuus on aitoa osaansa suurempi', jota Eukleideen ajoista lähtien...pidettiin 'itsestäänselvänä' totuutena", kirjoittaa Ilkka Niiniluoto Johdatuksessa tieteenfilosofiaan (2. painos 1984, s. 82). Muistan kuulleeni kyseisen väitteen myös muodossa "joukko on aina aitoa osajoukkoaan suurempi". Niiniluoto perustelee asiaa näin (s. 258): "Esim. luonnollisten lukujen joukko {1, 2, 3...} on 'yhtä mahtava' parillisten lukujen joukon /2,4,6...} kanssa siinä mielessä, että niiden alkioiden välille voidaan asettaa yksikäsitteinen vastaavuus". (En ole varma ymmärränkö sanan "kääntäen" merkitystä tässä, mutta se ei nähdäkseni ole olennaiosta. Ehkä se tarkoittaa: jokaisesta luonnollisesta luvusta voidaan johtaa toinen, parillinen luku kertomalla edellinen kahdella, mutta yhtä hyvin jokaiosesta parillisesta toinen, luonnollinen jakamalla parillinen kahdella? Tämä olisi ainakin oikeutettu väite ja koskisi tietynlaista kääntämismahdollisuutta.)

Väite joukkojen 'yhtäläisestä mahtavuudesta' on Georg Cantorin käsialaa (lähde: Logicomix, Doksiadis ja Papadimitriou 2010, s. 32. Lähteenäni on sarjakuva, mutta pyydän teitä hiukan lykkäämään johtopäätöstä, että itsekin olen hupihahmo ajattelijana).
"Luonnollisten lukujen joukolla" ja "parillisten lukujen joukolla" Cantor tarkoitti äärettömiä joukkoja -- kaikkien konstruoitavissa olevien luonnollisten/parillisten lukujen joukkoja -- sama lähde, jatkossa LC, 146 & 321. (En tiedä varmasti, puhuiko Cantor "kaikkien konstruoitavissa olevien lukujen joukoista", mutta vain tämä lienee sellainen "kaikien lukujen" joukko, jota voi sanoa äärettömäksi -- toisin kuin kaikkien tietyllä hetkellä jo-konstruoitujen lukujen joukko tai tietyllä hetkellä olemassaolevien erilajisten luonnonolioiden päälukujen joukko.)

Jo tämä tuo rotanraadon hajun monen filosofin nenään: onko "ääretön joukko" mielekäs käsite? Toinen kysymys, joka ainakin omassa mielessäni herää, on: jos "yhtäläinen mahtavuus" tarkoittaa sitä, että joukkojen alkioiden välillä vallitsee yksikäsitteinen vastaavuus, mitä tekemistä asialla on yhtäläisen koon kanssa? Tarkoitushan oli osoittaa, että joukko on toisinaan vain samankokoinen kuin osajoukkonsa, tai tälle vastakkaisen väitteen Niiniluoto katsoi kumotuksi. Myös sana "mahtava" herättää mielikuvan koosta, samalla kun tekee pesäeron siihen -- Cantor ei viittaa sanalla mitattavaan kokoon (LC, s. 327).

Jos joukkojen "toisiaan-vastaavuus" jotenkin liittyy niiden kokoon, niin tällä tavalla: jokaisesta luonnollisesta luvusta voidaan johtaa toinen, parillinen luku tietyn operaation avulla: kertomalla luonnollinen luku kahdella. Tässä mielessä "jokaista luonnollista lukua kohti on yksi (toinen) parillinen luku".

"Sisältymisen" ja "osajoukon" uudet merkitykset

Onko luonnollisista luvuista johdettu parillisten lukujen joukko todella "äitinsä" osajoukko? Jos joukot ovat äärellisiä, ei selvästikään.

Parillisten lukujen joukossa {2, 4...34} on lukuja, jotka eivät sisälly "äitijoukkoon" {1, 2...17} elu luvut {18, 20...34}. Parillisten lukujen joukko {2, 4...34} ei siis ole kokonaisuudessaan "äitinsä" osajoukko. Luvut 18--34 eivät sisälly joukkoon {1...17}, ellei "sisältyminen" tarkoita jotakin aivan muuta kuin mitä vanhempani opettivat minulle. Muuttuisiko asia, jos joukot olisivat äärettömiä? En näe mitään perustetta uskoa niin.

"Luonnollisten lukujen ääretön joukko" voidaan nyt tulkita kahdella tavalla: a) luonnollisia lukuja voidaan konstruoida loputtomasti = ei ole mitään luonnollista lukua, jota emme voisi vielä kasvattaa operaatiolla (x+1). Tämän tiedämme todeksi, tai ainakin se on intuitiivisesti uskottavaa: miksi luvun "suuri koko" estäisi meitä/tietokonetta ynnäämästä siihen lukua 1? Ja oli väite tosi tai ei, juuri tätä Cantor lienee tarkoittanut -- mitä muita perusteita hänellä olisi ollut varmuuteensa, että luonnollisia lukuja on "äärettömästi"?

Jos lähdemme tästä tulkinnasta -- ei ole tietynsuuruista lukua "ääretön", vaan ainoastaan loputon kasvatettavuus -- mitä siitä seuraa parillisten luonnollisiin-sisältymiselle? Millä tahansa hetkellä on vain tietynkokoinen jo-konstruoitujen luonnollisten lukujen joukko ja siitä johdettujen parillisten, osittain suurempien, lukujen joukko. Parillisten lukujen joukko ei koskaan sisälly (kokonaisuudessaan) vastaavaan luonnollisten lukujen joukkoon. "Olemassaolevien" parillisten lukujen joukko ei, millään hetkellä, ole "olemassaolevien" luonnollisten lukujen aito osajoukko.

Entä jos emme ajattele loputtomasta kasvatettavuudesta johdettavia joukkoja, vaan itse loputonta kasvatettavuutta? (Luonnollisten tai parillisten lukujen) kasvatettavuus ei toki ole jotakin, mikä voisi sisältyä johonkin.
 
Pelastuuko Cantorin ajatus, jos "luonnollisten lukujen ääretön joukko" tulkitaan tavalla b): ei vain loputtomaksi konstruoimismahdollisuudeksi, vaan valmiiksi konstruoiduksi tietynkokoiseksi äärettömäksi joukoksi ("äärettömän" tarkoittaen esim. sellaista, jota ei voida laskea loppuun)? No: jos ääretön parillisten lukujen joukko sisältyy äärettömään luonnollisten lukujen joukkoon, eikö tämä merkitse, että a) ääretön luonnollisten lukujen joukko on suurempi kuin ääretön parillisten lukujen joukko (ja Eukleideen kunnia palautuu) b) joukot ovat samankokoisia jja luonnollisten lukujen joukko sisältää vain parillisia lukuja eikä siis ole kaikkien luonnollisten lukujen joukko? Jos parilliset luvut sisältyvät (ymmärrettävässä mielessä) kaikkien luonnollisten lukujen joukkoon, parillisiin lukuihin ei kuulu luonnollisia lukuja suurempia lukuja -- on vain luonnollisia lukuja, joista puolet parillisia.

Lopulta: "äärettömään luonnollisten lukujen joukkoon sisältyy ääretön parillisten lukujen joukko" voi olla tosi väite vain jos on olemassa (tai konstruoitavissa) äärettömiä joukkoja -- määrätyn alkiomäärän sisältäviä äärettömiä joukkoja /(vastakohtana "äärettömälle", jolla tarkoitetaan alati kasvavaa, muuttuvaa alkiomäärää, siis montaa vaihtoehtoista alkiomäärää). Ellei ole määrättyä -- jostakin luvusta alkavaa, johonkin lukuun loppuvaa -- joukkoa, miten voidaan puhua toisen joukon "sisältymisestä" "siihen"? Eikö "sisältyminen" sentään tarkoita johonkin määrättyyn sisältymistä? Väitän siis: Cantorin näkemys (tai jokin sen kaltainen) voi olla oikea vain jos on olemassa trietynsuuruisia äärettömiä joukkoja. Liitteessä puolustan ajatusta, että sellaiset joukot ovat mahdottomia.

Cantorin pseudoratkaisut

Nämä Cantorin ajatusta tukevat väittämät ovat kumpikin itsessään uskottavia: (1) parillisten lukujen sarjat sisältyvät luonnollisten lukujen aukottomiin sarjoihin (aukollinen olisi esim. {1, 2, 7...}) (2) parillisia lukuja voidaan konstruoida yhtä paljon kuin luonnollisia lukuja (molempia äärettömästi). Näistä ei kuitenkaan ole johdettava ajatusta: äärettömään luonnollisten lukujen joukkoon sisältyy samankokoinen ääretön parillisten lukujen joukko. Tämä ajatus nojaa mielikuvaan täydellisistä, loppuun konstruoiduista äärettömistä joukoista -- yhtä suurista -- mutta kohta (2), loputtoman konstruoimisen mahdollisuus, kieltää täydellisen äärettömän joukon mahdollisuuden (sanoo, että kaikkeen voidaan vielä ynnätä). On siis vain loputonta konstruoitavuutta (joka ei voi sisältää tai sisältyä), sekä jo-konstruoituja, toisistaan johdettuja luonnollisten ja parillisten lukujen joukkoja (joista jälkimmäiset eivät kokonaisuudessaan sisälly edellisiin).

Varovaisestikin muotoillen: Cantor on osoittanut, että joukko voi olla samankokoinen kuin osajoukkonsa, vain jos "osajoukolle" ("sisältymiselle") annetaan vakiintuneesta poikkeava merkitys. Vain merkityksiä mielivaltaisesti muuttamalla voidaan puhua parillisten lukujen joukosta luonnollisten lukujen samankokoisena "osajoukkona" (l. luonnollisten lukujen joukkoon "sisältyvästä" samankokoisesta parillisten lukujen joukosta). "Samankokoisen sisältyminen" voi tässä tarkoittaa (a) suoranaista ulkopuolisuutta (b) loputtomaan konstruoitavuuteen sisältymistä (c) alkioluvultaan epämääräiseen joukkoon sisältymistä -- siis mihin sisältymistä? Eukleideen väitteen allekirjoittajat eivät varmasti ole yrittäneetkään sanoa mitään tällaisista "osajoukoista". Cantorin todistelu ei ole aito (sic!) vastaväite siihen, mitä euklidikot uskovat. Rumemmin: se on vain käsitekikkailua.

Outoa on myös puhe "kaikkien" luonnollisten lukujen joukosta. Jos joukon äärettömyyden (LC 321) perusteena on lukujen loputon konstruoitavuus, ei ole luotavissa "kaikkien mahdollisten luonnollisten lukujen joukkoa". Jälleen: kaikkeen voidaan vielä ynnätä. Mitä "kaikki" siis tarkoittaa?

Sokerina pohjalla: Cantor katsoi, että (ääretön) parillisten lukujen joukko ja (ääretön) luonnollisten lukujen joukko ovat "samankokoisia" ("yhtä mahtavia") sikäli, että toista kasvatettaessa voidaan aina kasvattaa toista tietyn operaation avulla, luoden vastaavuussuhde joukkojen välille. Jokaisesta luonnollisesta luvusta voidaan johtaa toinen, parillinen luku. Mutta eikö luonnollisia ja parittomia lukuja voida yhtä hyvin konstruoida toisistaan riippumatta? Joukkojen koot riippuvat toisistaan (joukot ovat siten "samankokoisia"), koska Cantor panee ne riippumaan -- johtaa toisen toisesta.

Voimme myös esittää väitteen (ainakin yhtä oikeutetun kuin Cantorin väite): jokaisessa luonnollisten lukujen aukottomassa sarjassa on yksi parillinen luku kahta luonnollista lukua kohti (jos luonnollisia lukuja on parillinen määrä), jolloin osajoukko jää joukkoa pienemmäksi. Eikö tämä ole euklidiselle kkeskustelulle relevantimpi väite, koska siinä toinen joukko sisältyy toiseen, sanan vakiintuneessa merkityksessä?

Cantorin vastaavuusperustelu tuo mieleeni toisenkin vastaväitteen. Hyväksyn ajatuksen luonnollisten ja parillisten lukujoukkojen yhtäläisestä mahtavuudesta sikäli, että ne ovat molemmat yhtä lailla äärettömiä. Molempia voidaan kasvattaa "äärettömästi" -- koskaan ei (uskon) tule vastaan niin suurta lukua, ettei siihen voisi ynnätä yhtä. Mutta eihän tämän toteaminen edellytä vastaavuussuhdetta, toisen toisesta johtamista!

Liite: "ääretön joukko"

Voisiko olla olemassa äärettömiä valmiiksi konstruoituja joukkoja (vastakohtana pelkälle loputtomalle kasvatettavuudelle)? "Äärettömällä joukolla" tarkoitetaan yleisessä -- hm -- filosofeerauksessa yleensä sellaista, jonka alkioita ei voida laskea (syödä, kävellä...) loppuun. Jos tämä käsitetään kirjaimellisesti, on kiistatta olemassa äärettömiä joukkoja. Maailmankaikkeudessa on ääretön määrä ainehiukkasia: kukaan ihminen ei pystyisi laskemaan niitä loppuun. Tuskin edes laskijasukupolvien kketju, joka ulottuisi ihmislajin alkuhetkestä (mihin se sijoitettaneenkin) sen (yksinselitteisempään) tähänastiseen loppuhetkeen.

Entä jos määritelmää modifioidaan: ääretön joukko on sellainen, jota kukaan/mikään ei periaatteessakaan voi laskea loppuun? Tämä kuulostaa ehkä sinänsä hyväksyttävämmältä, mutta mitä tarkoittaa "periaatteessakin loppuunlaskematon"? Voisi ehkä ajatella: sellaista, jota ei voisi laskea loppuun pisimmässäkään määrätynpituisessa ajassa.

--Joku lisäisi ehkä: paitsi ajassa, joka olisi itse ääretön. Tässä on se ongelma, että se tekee äärettömän määritelmästä loputtoman regressin: ääretön joukko on sellainen, jonka pystyy laskemaan loppuun vain ajassa, jonka yksiköt pystyy laskemaan loppuun vain ajassa, jonka yksiköt pystyy laskemaan loppuun vain...". "Ääretön" jää lopulta määrittelemättä.

Voimme ehkä sopia: "ääretön joukko" tarkoittaa joukkoa, jota ei voi laskea loppuun missään määrätynpituisessa ajassa. Mikä voisi tehdä joukosta tässä mielessä loppuunlaskemattoman? Ehdotan: joukosta tulee loppuunlaskematon vain jos joukko kasvaa laskemisen edetessä. Intuitiivisesti vaikuttaa ilmeiseltä, että mikä tahansa vain-yhdenkokoinen, kasvamaton joukko voidaan laskea loppuun jossakin mkäärätynpituisessa ajassa. Useimmat eivät kuitenkaan (uskon) kutsuisi kasvavaa joukkoa joukoksi, vaan moneksi erikokoiseksi joukoksi. Jos "joukon" merkitykselle asetetaan tämä rajoitus, äärettömiä joukkoja ei voi olla.

Missään tapauksessa (jos olen oikeassa) ei voi olla ääretöntä määrätynpituista joukkoa. Jos ei ole määrätynkokoista ääretöntä luonnollisten lukujen joukkoa -- tai edes rajoitettua määrää tällaisia joukkoja -- emme voi ratkaista kysymystä, sisältyykö ääretön parillisten lukujen joukko (joukot) siihen/niihin. Emme myöskään voi tehdä kokovertailuja sen/niiden ja äärettömän parillisten lukujen joukon/joukkojen välillä.

Yhteydenotot (sms): 044-282 2525